1. 优先级队列
1.1 概念
前面介绍过队列,队列是一种先进先出(FIFO)的数据结构,但有些情况下,操作的数据可能带有优先级,一般出队列时,可能需要优先级高的元素先出队列,该中场景下,使用队列显然不合适,比如:在手机上玩游戏的时候,如果有来电,那么系统应该优先处理打进来的电话;初中那会班主任排座位时可能会让成绩好的同学先挑座位。
在这种情况下,数据结构应该提供两个最基本的操作,一个是返回最高优先级对象,一个是添加新的对象。这种数据结构就是优先级队列(Priority Queue)。
1.2 常用接口介绍
1.2.1 PriorityQueue的特性
Java集合框架中提供了PriorityQueue和PriorityBlockingQueue两种类型的优先级队列, PriorityQueue是线程不安全的,PriorityBlockingQueue是线程安全的,本文主要介绍PriorityQueue。
关于PriorityQueue的使用要注意:
1. 使用时必须导入PriorityQueue所在的包,即:import java.util.PriorityQueue;2. PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小,不能插入无法比较大小的对象,否则会抛出
ClassCastException异常
3. 不能插入null对象,否则会抛出NullPointerException
4. 没有容量限制,可以插入任意多个元素,其内部可以自动扩容
5. 插入和删除元素的时间复杂度为
6. PriorityQueue底层使用了堆数据结构
7. PriorityQueue默认情况下是小堆---即每次获取到的元素都是最小的元素
1.2.2 PriorityQueue常用接口介绍
构造器 | 功能介绍 |
PriorityQueue() | 创建一个空的优先级队列,默认容量是11 |
PriorityQueue(int initialCapacity) |
创建一个初始容量为initialCapacity的优先级队列,注意: initialCapacity不能小于1,否则会抛IllegalArgumentException异 常 |
PriorityQueue(Collection<? extends E> c) |
用一个集合来创建优先级队列 |
static void TestPriorityQueue(){ // 创建一个空的优先级队列,底层默认容量是11 PriorityQueue<Integer> q1 = new PriorityQueue<>(); // 创建一个空的优先级队列,底层的容量为initialCapacity PriorityQueue<Integer> q2 = new PriorityQueue<>(100); ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>(); list.add(4); list.add(3); list.add(2); list.add(1); // 用ArrayList对象来构造一个优先级队列的对象 // q3中已经包含了三个元素 PriorityQueue<Integer> q3 = new PriorityQueue<>(list); System.out.println(q3.size()); System.out.println(q3.peek()); }
注意:默认情况下,PriorityQueue队列是小堆,如果需要大堆需要用户提供比较器
1. 优先级队列的构造
// 用户自己定义的比较器:直接实现Comparator接口,然后重写该接口中的compare方法即可 class IntCmp implements Comparator<Integer>{ @Override public int compare(Integer o1, Integer o2) { return o2-o1; } } public class TestPriorityQueue { public static void main(String[] args) { PriorityQueue<Integer> p = new PriorityQueue<>(new IntCmp()); p.offer(4); p.offer(3); p.offer(2); p.offer(1); p.offer(5); System.out.println(p.peek()); } }
此时创建出来的就是一个大堆。
2. 插入/删除/获取优先级最高的元素
函数名 | 功能介绍 |
booleanoffer(E e) | 插入元素e,插入成功返回true,如果e对象为空,抛出NullPointerException异常,时间复杂度 ,注意:空间不够时候会进行扩容 |
E peek() | 获取优先级最高的元素,如果优先级队列为空,返回null |
E poll() | 移除优先级最高的元素并返回,如果优先级队列为空,返回null |
int size() | 获取有效元素的个数 |
void clear() | 清空 |
boolean isEmpty() | 检测优先级队列是否为空,空返回true |
以下是JDK 17中,PriorityQueue的扩容方式
private void grow(int minCapacity) { int oldCapacity = queue.length; // Double size if small; else grow by 50% int newCapacity = ArraysSupport.newLength(oldCapacity, minCapacity - oldCapacity, /* minimum growth */ oldCapacity < 64 ? oldCapacity + 2 : oldCapacity >> 1 /* preferred growth */); queue = Arrays.copyOf(queue, newCapacity); }如果容量小于64时,是按照oldCapacity的2倍方式扩容的
如果容量大于等于64,是按照oldCapacity的1.5倍方式扩容的
2. 优先级队列的模拟实现
2.1 堆的概念
如果有一个关键码的集合K = {k0,k1, k2,…,kn-1},把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中,并满足:Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0,1,2…,则称为 小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆,根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质:
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值;
堆总是一棵完全二叉树。
2.2 堆的存储方式
从堆的概念可知,堆是一棵完全二叉树,因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储
注意:对于非完全二叉树,则不适合使用顺序方式进行存储,因为为了能够还原二叉树,空间中必须要存储空节点,就会导致空间利用率比较低。
将元素存储到数组中后,可以根据二叉树章节的性质5对树进行还原。假设i为节点在数组中的下标,则有:
如果i为0,则i表示的节点为根节点,否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2
如果2 * i + 1 小于节点个数,则节点i的左孩子下标为2 * i + 1,否则没有左孩子
如果2 * i + 2 小于节点个数,则节点i的右孩子下标为2 * i + 2,否则没有右孩子
向下过程(以小堆为例):
1. 让parent标记需要调整的节点,child标记parent的左孩子(注意:parent如果有孩子一定先是有左孩子)
2. 如果parent的左孩子存在,即:child < size, 进行以下操作,直到parent的左孩子不存在
parent右孩子是否存在,存在找到左右孩子中最小的孩子,让child进行标
将parent与较小的孩子child比较,如果:
parent小于较小的孩子child,调整结束
否则:交换parent与较小的孩子child,交换完成之后,parent中大的元素向下移动,可能导致子
树不满足对的性质,因此需要继续向下调整,即parent = child;child = parent*2+1; 然后继续2
public void shiftDown(int[] array, int parent) { // child先标记parent的左孩子,因为parent可能右左没有右 int child = 2 * parent + 1; int size = array.length; while (child < size) { // 如果右孩子存在,找到左右孩子中较小的孩子,用child进行标记 if(child+1 < size && array[child+1] < array[child]){ child += 1; } // 如果双亲比其最小的孩子还小,说明该结构已经满足堆的特性了 if (array[parent] <= array[child]) { break; }else{ // 将双亲与较小的孩子交换 int t = array[parent]; array[parent] = array[child]; array[child] = t; // parent中大的元素往下移动,可能会造成子树不满足堆的性质,因此需要继续向下调整 parent = child; child = parent * 2 + 1; } }
注意:在调整以parent为根的二叉树时,必须要满足parent的左子树和右子树已经是堆了才可以向下调整。
时间复杂度分析:
最坏的情况即图示的情况,从根一路比较到叶子,比较的次数为完全二叉树的高度,即时间复杂度为O(log2n)
2.3.2 堆的创建
public static void createHeap(int[] array) { // 找倒数第一个非叶子节点,从该节点位置开始往前一直到根节点,遇到一个节点,应用向下调整 int root = ((array.length-2)>>1); for (; root >= 0; root--) { shiftDown(array, root); } }
2.4 堆的插入与删除
2.4.1 堆的插入
堆的插入总共需要两个步骤:
1. 先将元素放入到底层空间中(注意:空间不够时需要扩容)
2. 将最后新插入的节点向上调整,直到满足堆的性质
public void shiftUp(int child) { // 找到child的双亲 int parent = (child - 1) / 2; while (child > 0) { // 如果双亲比孩子大,parent满足堆的性质,调整结束 if (array[parent] > array[child]) { break; } else{ // 将双亲与孩子节点进行交换 int t = array[parent]; array[parent] = array[child]; array[child] = t; // 小的元素向下移动,可能到值子树不满足对的性质,因此需要继续向上调增 child = parent; parent = (child - 1) / 1; } } }
2.4.2 堆的删除
注意:堆的删除一定删除的是堆顶元素。具体如下:
1. 将堆顶元素对堆中最后一个元素交换
2. 将堆中有效数据个数减少一个
3. 对堆顶元素进行向下调整
注 :以下代码用大根堆实现
import java.util.Arrays; public class PriorityQueue { public int[] elem; public int usedSize; public PriorityQueue() { this.elem = new int[10]; } /** * 建堆的时间复杂度: * * @param array */ public void createHeap(int[] array) { for (int i = 0; i < array.length; i++) { elem[i] = array[i]; usedSize++; } for (int parent = (usedSize-1)/2; parent >= 0; parent--) { shiftDown(parent,usedSize); } } /** * * @param root 是每棵子树的根节点的下标 * @param len 是每棵子树调整结束的结束条件 * 向下调整的时间复杂度:O(logn) */ private void shiftDown(int root,int len) { int child = 2*root+1; while (child < len) { if(child+1 < usedSize && elem[child] < elem[child+1]) { child++; } if(elem[child] > elem[root]) { swap(child,root); root = child; child = 2*root+1; } else { break; } } } private void swap(int i,int j) { int tmp = elem[i]; elem[i] = elem[j]; elem[j] = tmp; } /** * 入队:仍然要保持是大根堆 * @param val */ public void push(int val) { if(isFull()) { elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length); } elem[usedSize] = val; usedSize++; shiftUp(usedSize-1); } private void shiftUp(int child) { int parent = (child-1)/2; while (child > 0) { if (elem[child] > elem[parent]) { swap(child,parent); child = parent; parent = (child-1)/2; } else { break; } } } public boolean isFull() { return usedSize == elem.length; } /** * 出队【删除】:每次删除的都是优先级高的元素 * 仍然要保持是大根堆 */ public void pollHeap() { swap(0,usedSize-1); //int tmp = elem[usedSize-1]; usedSize--; shiftDown(0,usedSize); } public boolean isEmpty() { return usedSize == 0; } /** * 获取堆顶元素 * @return */ public int peekHeap() { return elem[0]; } public void heapSort(){ int end = usedSize-1; while (end > 0) { swap(0,end); shiftDown(0,end); end--; } } }
3. 堆的应用
3.1 PriorityQueue的实现
用堆作为底层结构封装优先级队列
3.2 堆排序
堆排序即利用堆的思想来进行排序,总共分为两个步骤:
1. 建堆
升序:建大堆
降序:建小堆
2. 利用堆删除思想来进行排序
建堆和堆删除中都用到了向下调整,因此掌握了向下调整,就可以完成堆排序
public void heapSort(){ int end = usedSize-1; while (end > 0) { swap(0,end); shiftDown(0,end); end--; } }
3.3 Top-k问题
TOP-K问题:即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素,一般情况下数据量都比较大。
比如:专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题,能想到的最简单直接的方式就是排序,但是:如果数据量非常大,排序就不太可取了(可能数据都
不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决,基本思路如下:
1. 用数据集合中前K个元素来建堆
前k个最大的元素,则建小堆
前k个最小的元素,则建大堆
2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较,不满足则替换堆顶元素
将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后,堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
//top-k 问题 public int[] smallestK(int[] arr, int k) { int[] ret = new int[k]; if(k == 0) { return ret; } PriorityQueue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>(new Imp()) ; for (int i = 0; i < k; i++) { maxHeap.offer(arr[i]); } for (int i = k; i < arr.length; i++) { int tmp = maxHeap.peek(); if(arr[i] < tmp) { maxHeap.poll(); maxHeap.offer(arr[i]); } } for (int i = 0; i < k; i++) { ret[i] = maxHeap.poll(); } return ret; }