本文仅供学习使用，总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结，从矢量的角度进行分析，方法比较传统，但更易理解，并且现有的看似抽象方法，两者本质上并无不同。
2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考：
.
食用方法
如何表达刚体在空间中的位置与姿态
姿态参数如何表达？不同表达方式直接的转换关系？
旋转矩阵？转换矩阵？有什么意义和性质？转置代表什么？
如何表示连续变换？——与RPY有关
齐次坐标的意义——简化公式？
务必自己推导全部公式，并理解每个符号的含义
机构运动学与动力学分析与建模 Ch00-3刚体的位形 Configuration of Rigid BodyPart3
-
- 3.8 点、线、面、向量在坐标系下的表达
-
- 3.8.1 线的特征
- 3.8.2 面的特征
- 3.9 简单的示例与计算
3.8 点、线、面、向量在坐标系下的表达
对于固定坐标系下同一
{
A
}
,
{
B
}
left{ A
ight} ,left{ B
ight}
{A},{B}下进行表达，存在如下转换关系：
R
?
V
e
c
t
o
r
A
=
[
Q
B
A
]
R
?
V
e
c
t
o
r
B
vec{R}_{mathrm{Vector}}^{A}=left[ Q_{mathrm{B}}^{A}
ight] vec{R}_{mathrm{Vector}}^{B}
R
R
?
P
A
=
[
Q
B
A
]
R
?
P
B
+
R
?
B
A
vec{R}_{mathrm{P}}^{A}=left[ Q_{mathrm{B}}^{A}
ight] vec{R}_{mathrm{P}}^{B}+vec{R}_{mathrm{B}}^{A}
R
{
A
}
,
{
B
}
left{ A
ight} ,left{ B
ight}
{A},{B}下进行表达，存在如下转换关系：
R
?
P
A
+
λ
R
?
V
e
c
t
o
r
A
=
[
Q
B
A
]
R
?
P
B
+
R
?
B
A
+
λ
[
Q
B
A
]
R
?
V
e
c
t
o
r
B
=
[
Q
B
A
]
(
R
?
P
B
+
λ
R
?
V
e
c
t
o
r
B
)
+
R
?
B
A
vec{R}_{mathrm{P}}^{A}+lambda vec{R}_{mathrm{Vector}}^{A}=left[ Q_{mathrm{B}}^{A}
ight] vec{R}_{mathrm{P}}^{B}+vec{R}_{mathrm{B}}^{A}+lambda left[ Q_{mathrm{B}}^{A}
ight] vec{R}_{mathrm{Vector}}^{B}=left[ Q_{mathrm{B}}^{A}
ight] left( vec{R}_{mathrm{P}}^{B}+lambda vec{R}_{mathrm{Vector}}^{B}
ight) +vec{R}_{mathrm{B}}^{A}
R
R
?
P
A
+
λ
1
R
?
V
e
c
t
o
r
1
A
+
λ
2
R
?
V
e
c
t
o
r
2
A
=
[
Q
B
A
]
R
?
P
B
+
R
?
B
A
+
λ
1
[
Q
B
A
]
R
?
V
e
c
t
o
r
1
B
+
λ
2
[
Q
B
A
]
R
?
V
e
c
t
o
r
2
B
=
[
Q
B
A
]
(
R
?
P
B
+
λ
1
R
?
V
e
c
t
o
r
1
B
+
λ
2
R
?
V
e
c
t
o
r
2
B
)
+
R
?
B
A
vec{R}_{mathrm{P}}^{A}+lambda _1vec{R}_{mathrm{Vector}_1}^{A}+lambda _2vec{R}_{mathrm{Vector}_2}^{A}=left[ Q_{mathrm{B}}^{A}
ight] vec{R}_{mathrm{P}}^{B}+vec{R}_{mathrm{B}}^{A}+lambda _1left[ Q_{mathrm{B}}^{A}
ight] vec{R}_{mathrm{Vector}_1}^{B}+lambda _2left[ Q_{mathrm{B}}^{A}
ight] vec{R}_{mathrm{Vector}_2}^{B}=left[ Q_{mathrm{B}}^{A}
ight] left( vec{R}_{mathrm{P}}^{B}+lambda _1vec{R}_{mathrm{Vector}_1}^{B}+lambda _2vec{R}_{mathrm{Vector}_2}^{B}
ight) +vec{R}_{mathrm{B}}^{A}
R
3.8.1 线的特征
- 线的单位方向
l
?
vec{l}
l
已知平面上存在点P
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
,
P
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
P_1left( x_1,y_1,z_1
ight) ,P_2left( x_2,y_2,z_2
ight)P1?(x1?,y1?,z1?),P2?(x2?,y2?,z2?)，则其单位方向向量
l
?
vec{l}
l
l
?
=
P
1
P
2
?
∣
P
1
P
2
?
∣
=
(
x
2
?
x
1
)
i
?
+
(
y
2
?
y
1
)
j
?
+
(
z
2
?
z
1
)
k
?
(
x
2
?
x
1
)
2
+
(
y
2
?
y
1
)
2
+
(
z
2
?
z
1
)
2
vec{l}=frac{overrightharpoon{P_1P_2}}{left| overrightharpoon{P_1P_2}
ight|}=frac{left( x_2-x_1
ight) vec{i}+left( y_2-y_1
ight) vec{j}+left( z_2-z_1
ight) vec{k}}{sqrt{left( x_2-x_1
ight) ^2+left( y_2-y_1
ight) ^2+left( z_2-z_1
ight) ^2}}l
- 线的姿态参数
(
θ
,
?
)
left( heta ,phi
ight)(θ,?)
（见1.2.3）
已知平面上存在点P
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
,
P
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
P_1left( x_1,y_1,z_1
ight) ,P_2left( x_2,y_2,z_2
ight)P1?(x1?,y1?,z1?),P2?(x2?,y2?,z2?)，则其
球坐标 系姿态角(
θ
,
?
)
left( heta ,phi
ight)(θ,?), 为：
R
?
P
1
P
2
F
=
(
x
2
?
x
1
)
i
?
+
(
y
2
?
y
1
)
j
?
+
(
z
2
?
z
1
)
k
?
=
∣
P
1
P
2
?
∣
(
cos
?
?
sin
?
θ
i
?
+
sin
?
?
sin
?
θ
j
?
+
cos
?
?
k
?
)
?
{
?
=
a
r
c
cos
?
(
z
2
?
z
1
∣
P
1
P
2
?
∣
)
θ
=
a
r
c
sin
?
(
(
x
2
?
x
1
)
2
+
(
y
2
?
y
1
)
2
)
?
π
2
(
y
2
?
y
1
∣
y
2
?
y
1
∣
?
1
)
∣
P
1
P
2
?
∣
vec{R}_{P_1P_2}^{F}=left( x_2-x_1
ight) vec{i}+left( y_2-y_1
ight) vec{j}+left( z_2-z_1
ight) vec{k}=left| overrightharpoon{P_1P_2}
ight|left( cos phi sin heta vec{i}+sin phi sin heta vec{j}+cos phi vec{k}
ight) \ Rightarrow egin{cases} phi =mathrm{arc}cos left( frac{z_2-z_1}{left| overrightharpoon{P_1P_2}
ight|}
ight)\ heta =mathrm{arc}sin frac{left( sqrt{left( x_2-x_1
ight) ^2+left( y_2-y_1
ight) ^2}
ight) -frac{pi}{2}left( frac{y_2-y_1}{left| y_2-y_1
ight|}-1
ight)}{left| overrightharpoon{P_1P_2}
ight|}\ end{cases}R
3.8.2 面的特征
-
法矢量
n
?
vec{n}
n
P
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
,
P
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
,
P
3
(
x
3
,
y
3
,
z
3
)
P_1left( x_1,y_1,z_1
ight) ,P_2left( x_2,y_2,z_2
ight) ,P_3left( x_3,y_3,z_3
ight)P1?(x1?,y1?,z1?),P2?(x2?,y2?,z2?),P3?(x3?,y3?,z3?), 则其法矢量
n
?
vec{n}
n
n
?
=
P
1
P
2
?
×
P
1
P
3
?
=
∣
i
?
j
?
k
?
x
2
?
x
1
y
2
?
y
1
z
2
?
z
1
x
3
?
x
1
y
3
?
y
1
z
3
?
z
1
∣
=
a
i
?
+
b
j
?
+
c
k
?
;
n
?
(
a
,
b
,
c
)
{
a
=
(
y
2
?
y
1
)
(
z
3
?
z
1
)
?
(
y
3
?
y
1
)
(
z
2
?
z
1
)
b
=
(
z
2
?
z
1
)
(
x
3
?
x
1
)
?
(
z
3
?
z
1
)
(
x
2
?
x
1
)
c
=
(
x
2
?
x
1
)
(
y
3
?
y
1
)
?
(
x
3
?
x
1
)
(
y
2
?
y
1
)
??
vec{n}=overrightharpoon{P_1P_2} imes overrightharpoon{P_1P_3}=left| egin{matrix} vec{i}& vec{j}& vec{k}\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\ end{matrix}
ight|=avec{i}+bvec{j}+cvec{k};vec{n}left( a,b,c
ight) \ egin{cases} a=left( y_2-y_1
ight) left( z_3-z_1
ight) -left( y_3-y_1
ight) left( z_2-z_1
ight)\ b=left( z_2-z_1
ight) left( x_3-x_1
ight) -left( z_3-z_1
ight) left( x_2-x_1
ight)\ c=left( x_2-x_1
ight) left( y_3-y_1
ight) -left( x_3-x_1
ight) left( y_2-y_1
ight) ,,\ end{cases}n
-
平面的姿态参数
已知平面上存在点P
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
,
P
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
,
P
3
(
x
3
,
y
3
,
z
3
)
P_1left( x_1,y_1,z_1
ight) ,P_2left( x_2,y_2,z_2
ight) ,P_3left( x_3,y_3,z_3
ight)P1?(x1?,y1?,z1?),P2?(x2?,y2?,z2?),P3?(x3?,y3?,z3?), 令
i
?
M
=
P
1
P
2
?
∣
P
1
P
2
?
∣
=
(
x
2
?
x
1
)
i
?
+
(
y
2
?
y
1
)
j
?
+
(
z
2
?
z
1
)
k
?
(
x
2
?
x
1
)
2
+
(
y
2
?
y
1
)
2
+
(
z
2
?
z
1
)
2
vec{i}^M=frac{overrightharpoon{P_1P_2}}{left| overrightharpoon{P_1P_2}
ight|}=frac{left( x_2-x_1
ight) vec{i}+left( y_2-y_1
ight) vec{j}+left( z_2-z_1
ight) vec{k}}{sqrt{left( x_2-x_1
ight) ^2+left( y_2-y_1
ight) ^2+left( z_2-z_1
ight) ^2}}i
k
?
M
=
a
i
?
F
+
b
j
?
F
+
c
k
?
F
a
2
+
b
2
+
c
2
,
{
a
=
(
y
2
?
y
1
)
(
z
3
?
z
1
)
?
(
y
3
?
y
1
)
(
z
2
?
z
1
)
b
=
(
z
2
?
z
1
)
(
x
3
?
x
1
)
?
(
z
3
?
z
1
)
(
x
2
?
x
1
)
c
=
(
x
2
?
x
1
)
(
y
3
?
y
1
)
?
(
x
3
?
x
1
)
(
y
2
?
y
1
)
??
vec{k}^M=frac{avec{i}^F+bvec{j}^F+cvec{k}^F}{sqrt{a^2+b^2+c^2}},egin{cases} a=left( y_2-y_1
ight) left( z_3-z_1
ight) -left( y_3-y_1
ight) left( z_2-z_1
ight)\ b=left( z_2-z_1
ight) left( x_3-x_1
ight) -left( z_3-z_1
ight) left( x_2-x_1
ight)\ c=left( x_2-x_1
ight) left( y_3-y_1
ight) -left( x_3-x_1
ight) left( y_2-y_1
ight) ,,\ end{cases}k
j
?
M
=
k
?
M
×
i
?
M
vec{j}^M=vec{k}^M imes vec{i}^M
j
[
i
?
M
j
?
M
k
?
M
]
=
[
Q
F
M
]
[
i
?
F
j
?
F
k
?
F
]
;
[
Q
M
F
]
=
[
Q
F
M
]
T
=
[
q
11
q
12
q
13
q
21
q
22
q
23
q
31
q
32
q
33
]
left[ egin{array}{c} vec{i}^M\ vec{j}^M\ vec{k}^M\ end{array}
ight] =left[ Q_{mathrm{F}}^{M}
ight] left[ egin{array}{c} vec{i}^F\ vec{j}^F\ vec{k}^F\ end{array}
ight] ;left[ Q_{mathrm{M}}^{F}
ight] =left[ Q_{mathrm{F}}^{M}
ight] ^{mathrm{T}}=left[ egin{matrix} q_{11}& q_{12}& q_{13}\ q_{21}& q_{22}& q_{23}\ q_{31}& q_{32}& q_{33}\ end{matrix}
ight]
3.9 简单的示例与计算
