矩阵的谱半径与条件数
2023年11月18日
文章目录
- 矩阵的谱半径与条件数
-
- 1. 矩阵的谱半径
- 2. 谱半径与范数的关系
- 3. 矩阵的条件数
- 下链
1. 矩阵的谱半径
定义 设
A
∈
C
n
×
n
{Ain mathbb C^{n imes n} }
A∈Cn×n ，
λ
1
,
λ
2
,
?
?
,
λ
n
{ lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n}
λ1?,λ2?,?,λn? 是A的特征值，则称
ρ
(
A
)
=
max
?
1
≤
i
≤
n
∣
λ
i
∣
ho(A)=max_{1le ile n}| lambda_i|
ρ(A)=1≤i≤nmax?∣λi?∣
为矩阵
A
{A}
A 的谱半径。矩阵的谱指的是一个矩阵的特征值的集合。
定理 设
A
∈
C
n
×
n
{Ain mathbb C^{n imes n} }
A∈Cn×n ，则
-
ρ
(
A
H
)
=
ρ
(
A
T
)
=
ρ
(
A
)
{
ho(A^ mathrm H)=
ho(A^ mathrm T)=
ho(A)}ρ(AH)=ρ(AT)=ρ(A)
-
ρ
(
A
k
)
=
[
ρ
(
A
)
]
k
{
ho(A^k)=[
ho(A)]^k}ρ(Ak)=[ρ(A)]k
- 当
A
{A}
A 是正规矩阵时，
ρ
(
A
)
=
∣
∣
A
∣
∣
2
{
ho(A)= || A ||_{2 }}ρ(A)=∣∣A∣∣2?
2. 谱半径与范数的关系
设
A
∈
C
n
×
n
{Ain mathbb C^{n imes n}}
A∈Cn×n ，
λ
{lambda}
λ 是
A
{A}
A 的一个特征值，
x
{x}
x 是
A
{A}
A 属于
λ
{ lambda}
λ 的特征向量，则
A
x
=
λ
x
Ax= lambda x
Ax=λx
对
C
n
×
n
{ mathbb C^{n imes n} }
Cn×n 中任一矩阵范数
∣
∣
?
∣
∣
m
{ || cdot ||_{m }}
∣∣?∣∣m? 以及与它相容的向量范数
∣
∣
?
∣
∣
v
{ || cdot ||_{v }}
∣∣?∣∣v? ，有
∣
λ
∣
?
∣
∣
x
∣
∣
v
=
∣
∣
λ
x
∣
∣
v
=
∣
∣
A
x
∣
∣
v
≤
∣
∣
A
∣
∣
?
∣
∣
x
∣
∣
v
| lambda| cdot || x ||_{v }= || lambda x ||_{ v}= || Ax ||_{ v} le || A ||_{ } cdot || x ||_{v }
∣λ∣?∣∣x∣∣v?=∣∣λx∣∣v?=∣∣Ax∣∣v?≤∣∣A∣∣??∣∣x∣∣v?
从而
∣
λ
∣
≤
∣
∣
A
∣
∣
| lambda| le || A ||_{ }
∣λ∣≤∣∣A∣∣?
于是有如下定理。
定理
ρ
(
A
)
≤
∣
∣
A
∣
∣
{
ho(A)le || A ||_{ }}
ρ(A)≤∣∣A∣∣? ，其中
∣
∣
A
∣
∣
{ || A ||_{ }}
∣∣A∣∣? 是
A
{A}
A 的任一矩阵范数。
定理 设
A
∈
C
n
×
n
{Ain mathbb C^{n imes n} }
A∈Cn×n ，则任意
?
>
0
{ epsilon>0}
?>0 ，必存在
C
n
×
n
{ mathbb C^{n imes n} }
Cn×n 上矩阵范数
∣
∣
?
∣
∣
m
{ || cdot ||_{m }}
∣∣?∣∣m? ，使得
∣
∣
A
∣
∣
m
≤
ρ
(
A
)
+
?
|| A ||_{ m} le
ho(A)+ epsilon
∣∣A∣∣m?≤ρ(A)+?
也就是虽然矩阵范数可能大于谱近谱半径的矩阵半径，却又总是存在无限接范数。数值分析中，谱半径可以认为是算子范数。
3. 矩阵的条件数
引理 设
P
∈
C
n
×
n
{Pin mathbb C^{n imes n} }
P∈Cn×n ，若对
C
n
×
n
{ mathbb C^{n imes n} }
Cn×n 上的某一矩阵范数
∣
∣
?
∣
∣
{ || cdot ||_{ }}
∣∣?∣∣? 有
∣
∣
P
∣
∣
<
1
{ || P ||_{ }<1}
∣∣P∣∣?<1 ，则
I
?
P
{I-P}
I?P 可逆。
定理 设
A
∈
C
n
n
×
n
{Ain mathbb C_n^{n imes n} }
A∈Cnn×n? 可逆，
δ
A
∈
C
n
×
n
{ delta Ain mathbb C^{n imes n} }
δA∈Cn×n 。若对
C
n
×
n
{ mathbb C^{n imes n} }
Cn×n 上的某一矩阵范数
∣
∣
?
∣
∣
{ || cdot ||_{ }}
∣∣?∣∣? 有
∣
∣
A
?
1
δ
A
∣
∣
<
1
{ || A^{-1} delta A ||_{ }<1}
∣∣A?1δA∣∣?<1 ，则
-
A
+
δ
A
{A+ delta A}
A+δA 可逆
-
∣
∣
(
A
+
δ
A
)
?
1
∣
∣
≤
∣
∣
A
?
1
∣
∣
1
?
∣
∣
A
?
1
δ
A
∣
∣
{|| (A+ delta A)^{-1} ||_{ }le frac{|| A^{-1} ||_{ }}{1- || A^{-1} delta A ||_{ }}}
∣∣(A+δA)?1∣∣?≤1?∣∣A?1δA∣∣?∣∣A?1∣∣??
-
∣
∣
A
?
1
?
(
A
+
δ
A
)
?
1
∣
∣
∣
∣
A
?
1
∣
∣
≤
∣
∣
A
?
1
δ
A
∣
∣
1
?
∣
∣
A
?
1
δ
A
∣
∣
{frac{||A^{-1}- (A+ delta A)^{-1} ||_{ }}{|| A^{-1} ||_{ }} le frac{|| A^{-1} delta A ||_{ }}{1- || A^{-1} delta A ||_{ }}}
∣∣A?1∣∣?∣∣A?1?(A+δA)?1∣∣??≤1?∣∣A?1δA∣∣?∣∣A?1δA∣∣?? 矩阵扰动后逆矩阵的相对误差小于右端式子
定义 设
A
∈
C
n
n
×
n
{Ain mathbb C_n^{n imes n} }
A∈Cnn×n? 可逆，
∣
∣
?
∣
∣
{ || cdot ||_{ }}
∣∣?∣∣? 是
C
n
×
n
{ mathbb C^{n imes n} }
Cn×n 上的某一矩阵范数，称
cond
(
A
)
=
∣
∣
A
∣
∣
?
∣
∣
A
?
1
∣
∣
ext{cond}(A)= || A ||_{ } cdot || A^{-1} ||_{ }
cond(A)=∣∣A∣∣??∣∣A?1∣∣?
为矩阵
A
{A}
A 的条件数。
推论 设
A
∈
C
n
n
×
n
{Ain mathbb C_n^{n imes n} }
A∈Cnn×n? 可逆，
δ
A
∈
C
n
×
n
{ delta Ain mathbb C^{n imes n} }
δA∈Cn×n 。若对
C
n
×
n
{ mathbb C^{n imes n} }
Cn×n 上的某一矩阵范数
∣
∣
?
∣
∣
{ || cdot ||_{ }}
∣∣?∣∣? 有
∣
∣
A
?
1
∣
∣
?
∣
∣
δ
A
∣
∣
<
1
{ || A^{-1}|| cdot || delta A ||_{ }<1}
∣∣A?1∣∣?∣∣δA∣∣?<1 ，则
∣
∣
A
?
1
?
(
A
+
δ
A
)
?
1
∣
∣
∣
∣
A
?
1
∣
∣
≤
∣
∣
A
∣
∣
∣
∣
A
?
1
∣
∣
∣
∣
δ
A
∣
∣
∣
∣
A
∣
∣
1
?
∣
∣
A
∣
∣
∣
∣
A
?
1
∣
∣
∣
∣
δ
A
∣
∣
∣
∣
A
∣
∣
=
cond
(
A
)
∣
∣
δ
A
∣
∣
∣
∣
A
∣
∣
1
?
cond
(
A
)
∣
∣
δ
A
∣
∣
∣
∣
A
∣
∣
frac{||A^{-1}- (A+ delta A)^{-1} ||_{ }}{|| A^{-1} ||_{ }} le frac{|| A ||_{ }|| A^{-1} ||_{ }frac{|| delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}}{1-|| A ||_{ }|| A^{-1} ||_{ }frac{|| delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}}= frac{ ext{cond}(A) frac{|| delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}}{1- ext{cond}(A) frac{|| delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}}
∣∣A?1∣∣?∣∣A?1?(A+δA)?1∣∣??≤1?∣∣A∣∣?∣∣A?1∣∣?∣∣A∣∣?∣∣δA∣∣??∣∣A∣∣?∣∣A?1∣∣?∣∣A∣∣?∣∣δA∣∣???=1?cond(A)∣∣A∣∣?∣∣δA∣∣??cond(A)∣∣A∣∣?∣∣δA∣∣???
定理 设
A
∈
C
n
n
×
n
{Ain mathbb C_n^{n imes n} }
A∈Cnn×n? 可逆，
δ
A
∈
C
n
×
n
{ delta Ain mathbb C^{n imes n} }
δA∈Cn×n，
b
{b}
b ，
δ
b
∈
C
n
{ delta bin mathbb C^n}
δb∈Cn 。若对
C
n
×
n
{ mathbb C^{n imes n} }
Cn×n 上的某一矩阵范数
∣
∣
?
∣
∣
{ || cdot ||_{ }}
∣∣?∣∣? 有
∣
∣
A
?
1
∣
∣
?
∣
∣
δ
A
∣
∣
<
1
{ || A^{-1}|| cdot || delta A ||_{ }<1}
∣∣A?1∣∣?∣∣δA∣∣?<1 ，则非齐次线性方程组
A
x
=
b
???
与
???
(
A
+
δ
A
)
(
x
+
δ
x
)
=
b
+
δ
b
Ax=b ,,, 与 ,,, (A+ delta A)(x+ delta x)=b+ delta b
Ax=b与(A+δA)(x+δx)=b+δb
的解满足
∣
∣
δ
x
∣
∣
v
∣
∣
x
∣
∣
v
≤
cond
(
A
)
1
?
cond
(
A
)
∣
∣
δ
A
∣
∣
∣
∣
A
∣
∣
(
∣
∣
δ
A
∣
∣
∣
∣
A
∣
∣
+
∣
∣
δ
b
∣
∣
v
∣
∣
b
∣
∣
v
)
frac{|| delta x ||_{ v}}{|| x ||_{v }}le frac{ ext{cond}(A) }{1- ext{cond}(A) frac{|| delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}} igg( frac{|| delta A ||_{ }}{|| A ||_{ }}+frac{|| delta b ||_{ v}}{||b ||_{ v}} igg)
∣∣x∣∣v?∣∣δx∣∣v??≤1?cond(A)∣∣A∣∣?∣∣δA∣∣??cond(A)?(∣∣A∣∣?∣∣δA∣∣??+∣∣b∣∣v?∣∣δb∣∣v??)
其中
∣
∣
?
∣
∣
v
{ || cdot ||_{v }}
∣∣?∣∣v? 是
C
n
{ mathbb C^n}
Cn 上与矩阵范数
∣
∣
?
∣
∣
{ || cdot ||_{ }}
∣∣?∣∣? 相容的向量范数。
根据函数
f
(
x
)
=
x
1
?
x
f(x)= frac{x}{1-x}
f(x)=1?xx?
的图像，当
cond
(
A
)
{ ext{cond}(A)}
cond(A) 很大，则说求逆或求解线性方程组是病态的。