410. 分割数组的最大值

难度： 困难

题目大意：

给定一个非负整数数组 nums 和一个整数 k ，你需要将这个数组分成 k 个非空的连续子数组。

设计一个算法使得这 k 个子数组各自和的最大值最小。

提示：

• 1 <= nums.length <= 1000
• 0 <= nums[i] <= 10^6
• 1 <= k <= min(50, nums.length)

示例 1：

输入：nums = [7,2,5,10,8], k = 2
输出：18
解释：
一共有四种方法将 nums 分割为 2 个子数组。 
其中最好的方式是将其分为 [7,2,5] 和 [10,8] 。
因为此时这两个子数组各自的和的最大值为18，在所有情况中最小。

分析

类似"最大值最小"这样的字眼就可以往二分法上面去思考，那么怎么来进行二分呢，二分的话肯定是要有单调性的，本题是要怎么划分才可以使各自和的最大值最小，那么如果和越大，我们就可以把更多的数放在一组里面，也就是说组越少，同理，如果和越小，我们可以放在同一组里面的数字肯定就更少，也就是说组越多，这样就找单调性，我们可以二分这个值，这个值的区间是多少呢？显然不能小于数组中的最大值，不能大于数组的和，所以我们就确定了上下界，那么思考怎么如果确定了每一组的最大值，怎么求划分的组数呢？我们贪心的做，从前往后枚举，用一个变量累计和，如果和大于当前二分的值，那么就把前面的枚举的数字当成一组，如果组数小于k，那么说明当前二分的值小了，返回false即可，如果大于等于k，那么说明还是可以往下压缩的，返回true

二分查找 + 贪心

class Solution {
public:
    int splitArray(vector<int>& nums, int k) {
        int n = nums.size();
        function<bool(int)> check = [&](int mid) {
            int sum = 0, res = 1; 
            for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
                if (sum + nums[i] > mid) {
                    res ++;
                    sum = nums[i];
                } 
                else {
                    sum += nums[i];
                }
            }
            return res <= k;
        };

        int l = *max_element(nums.begin(), nums.end());
        int r = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (check(mid)) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return l;
    }
};

时间复杂度：

O

(

n

l

o

g

(

r

?

l

)

)

O(nlog(r - l))

O(nlog(r?l))

分析

状态定义：我们令f[i][j]表示将前i个数中分成j组，每组和的最大值的最小值

那么状态怎么转移呢？以最后一个不同点为分界点，也就是说，最后一组的起始点，我们可以枚举一下最后一组的起始点，假设当前枚举的是第i个数，要分成j组，最后一组的起始点是u，最后一组的和是sum，那么状态转移方程就是f[i][j] = min(f[i][j], max(f[u - 1][j - 1], sum));状态转移方程出来了，代码就好写了，最初初始化为INF，f[0][0] = 0

朴素版 动态规划

class Solution {
public:
    int splitArray(vector<int>& nums, int k) {
        int n = nums.size();
        // 前i个数字中分成j组各自和的最大值的最小值
        vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(k + 1, 0x3f3f3f3f));
        f[0][0] = 0; 
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            for (int j = 1; j <= i && j <= k; j ++) {
                int sum = 0;
                for (int u = i; u ; u --) {
                    sum += nums[u - 1];
                    f[i][j] = min(f[i][j], max(f[u - 1][j - 1], sum));
                }
            }
        }
        return f[n][k];
    }
};

时间复杂度：

O

(

n

2

?

k

)

O(n^2 * k)

O(n2?k)

动态规划 + 前缀和

class Solution {
public:
    int splitArray(vector<int>& nums, int k) {
        int n = nums.size();
        vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(k + 1, 0x3f3f3f3f));
        vector<int> s(n + 1);
        // 前缀和
        for (int i = 1; i <= n; i ++) s[i] = s[i - 1] + nums[i - 1]; 
        
        f[0][0] = 0; 
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            for (int j = 1; j <= i && j <= k; j ++) {
                for (int u = i; u ; u --) {
                    f[i][j] = min(f[i][j], max(f[u - 1][j - 1], s[i] - s[u - 1]));
                }
            }
        }
        return f[n][k];
    }
};

时间复杂度：

O

(

n

2

?

k

)

O(n^2 * k)

O(n2?k)

和上面的做法没有本质区别，只是加上了一个前缀和，优化一些计算